On dit que la série de fonctions \(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) converge simplement (point par point) sur \(X\) si pour chaque point \(x\in X\) fixé, la série numérique \(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) converge
L'application $$S:x\mapsto\sum^{+\infty}_{n=0}f_n(x)$$ définit alors une fonction \(S:X\to{\Bbb R}\)
On utilise aussi la notation \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) pour désigner cette fonction
Pour une série de fonctions \(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\), les sommes partielles \(S_N=\sum^N_{n=0}f_n\) définissent une suite de fonctions \(S_N:X\to{\Bbb R}\)
(Suite de fonctions)
Observation :
La série \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) converge simplement si et seulement si \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n(x)\) converge \(\forall x\in X\)